À toa  e  à-toa

 Essas expressões diferem na grafia, no significado e na classe de palavras. Vejamos:
À toa – Grafada sem hífen, essa locução adverbial significa “a esmo, sem objetivo definido, sem proveito”: “Ficou andando à toa por aí”, “Está lá, escrevendo à toa” e “Cansei-me à toa”.
À-toa – Com hífen, é locução adjetiva e significa “desprezível, sem importância, inútil”: “Aquele é sujeito à-toa mesmo”, “É besteirinha, coisa à-toa” e “Não adianta, é ajuda à-toa”. Apesar de funcionar como adjetivo, não varia: “São papéis à-toa”.

As duas têm pronúncia idêntica e, por isso, são consideradas, tecnicamente, homônimas homófonas. Embora o Aurélio registre como étimo (palavra de origem) o inglês tow, lê-se em ALMEIDA, 1981: 5 (verbete “A toa”) que “toa” é vocábulo que se origina do árabe  tuha, que, por sua vez, provém do verbo taha, “andar de forma errante, vagando, sem rumo”. Trata-se de termo da linguagem náutica que quer dizer “cabo utilizado para um navio rebocar outro que não tem propulsão própria”. Dessa forma, a “toa”, ao rebocar o barco, impede que ele flutue sem rumo. Da língua especializada, a expressão passou para a língua geral.